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美哉,数学!

作者:胡伟武 来源:原创 发布时间:2017-03-03

美哉,数学

胡伟武

 

【编者按】

    胡伟武,我校高中1986届毕业生,当年永康的理科状元。高中阶段,他酷爱数学,是我校第一位在全国高中数学联赛中获奖的学生(当年全省获奖学生仅50名)。他现任中科院计算所总工程师,龙芯中科公司总裁,研究员,博士生导师。第十一届全国人大代表,第九、十届全国青联委员,第十八大党代表。曾获“中科院杰出成就奖”、“全国青年五四奖章”、“光华工程科技奖”、“中国青年科技奖”等奖励,是国家杰出青年科学基金获得者。他主要从事龙芯系列处理器的研制,结束了我国无芯的历史,被誉为“龙芯之父”。目前龙芯CPU在技术上已达到世界先进水平,广泛应用于国家安全、教育、工业控制、消费类电子等领域。

    胡伟武校友应高中数学老师李克勤老师之邀,在其大学一年级利用课余期间写成了一本“高中数学学习体会”, 本文为其中的一篇,文章阐述了数学之美的问题和用美解题的经验,很值得我们学习和借鉴。                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         

直到初中毕业为止,我都感到数学过于抽象,十分空洞,学之乏味。到了高中,才朦胧觉得数学是美而有趣的。现在,对数学一知半解的我愈发惊叹于数学之美了。

什么叫“美”?人类至今未能对它下一个令人满意的定义,柏拉图在他的《对话集》中对这个问题展开了讨论,最后,他得出的结论是:关于美,我们什么也没有得到——而这正是他所得到的。好在我们可以撇开美的定义而感到美。

数学是美的,也是十分有趣的,其内容之丰富,其理论之协调,其形式之简洁……无不使人感到美之冲动。数学之美充满了整个世界,它的协调、整齐和匀称构成了它那生动活泼的内容;它的结构的严谨,图形的对称,布局的合理,形式的简洁,表现了对称性、简单性、奇异性和统一性的数学美。

如果说优美的自然环境、美丽的彩霞、漂亮的姑娘、悠扬的歌声……给人以赏心悦目的美感的话,那么图形优美、概念严谨、定理深刻、公式简洁的数学美可以使人感到感情上的陶冶和熏染。

直线方程的截距式,圆、椭圆方程的标准式,形的对称决定了式的对称,式的差异反映了形的差异,多么美好的形式!以三阶行列式的值判断三点共线、三线共点妙在形简意深;杨辉三角所揭示的二项展开式的系数规律不禁使我们联想起古埃及金字塔;正方体的匀称美使人浮想联翩;整齐的式子使人想到天安门阅兵的整齐队伍,多么雄伟、壮观、奇妙!浑圆的一个球,无论从哪一个角度去看,映在视网膜上的都是同样的立体,用一个平面去切它,截面都是一个圆面,当我盯住一个球看时,我便看到了地球、太阳……乃至整个宇宙,我似乎隐约看到了天体演化的奥秘和牛顿定律、库仑定律的平方反比率。球的对称堪称巧夺天工,球面上的每一个点都可以在同一球面上找到它关于球心的对称点。在物理上我们正是根据球的对称性解决了许多问题,因为物理学的许多基本公式(如万有引力定律、库仑定律等)都是球对称的。我们大概永远也不会明白为什么这个世界是如此奇妙,也许是上帝把它赋予人类?

我们不难举出数学美的许多方面,就拿十分奇妙的“黄金分割”来说:

⑴比它的倒数大1的正数是它;

⑵无穷式的值是它;

⑶著名连分数也等于它;

⑷正五边形的对角线与它的边长之比又是它;

⑸把已知区域分成两块,若整块与大块面积之比等于大块与小块面积之比,这比值还是它;……

在实际中,工厂里检验次品用到它,舞台上歌唱家总是站在舞台宽的黄金分割点,一个五官端正的人,其鼻尖总是在脸长的黄金分割处,抽烟的人总是有意无意地把烟叼在嘴唇的黄金分割处。早上上街买菜,同一种菜不同质量不同价格,当你无所适从时,劝你买最高价格与最低价格的黄金分割点的价格的菜,即:

你所买的菜的价格=最低价格+(最高价格-最低价格)×0.618

……

一个有相当数学美感的人,其思维敏捷、方法灵活,总是善于把数学美用于解题中。见到一道题而寻找解法时,数学美感是极其有用的,它能启迪人的思维,使人洞悉题目的一切,很快找到解题的“突破口”。有些人用好方法做出了一道题,虽然未必认识到这是数学美感在起作用,但数学美感却在暗中帮了他的忙。

设复数满足关系式:,其中A为不等于零的复数,

证明:

看到这个题后,我们的注意力会集中到已知条件式上,如何从已知式推出欲证式便是我们的任务,很少有人喜欢把设成复数的代数形式,那样显然是乏味而繁琐的。如果你能经过观察发现在条件式中的地位是对称的,那么你便更不忍心破坏这种可爱的“对称美”了,对称的问题宜用对称的方法来解决。由于对称,我们从想到,可以试着在条件式中取其共轭得到:

   

至此,问题便显得有些眉目了,因为,两个式子可分别化为:

于是,两边取模相乘就得到了要证明的结论。

在四面体ABCD中,BA=AC=BD=CD=,BC=AD.

试问:当BC为何值时,四面体ABCD的体积最大?

这个题目乍看难以下手,但由于平时训练较多,一见到它,在画出图形以前,我便想好了用分割法。这类题目大致都是如此。

如图,取AD中点EBC中点F,连BE,CE,EF.这样四面体ABCD就被分割为ABCEDBCE两部分,不难证明平面BCE,这样问题就显得有些明显了。这种方法较为简洁,也是因为不自觉地用了数学美感,实际上,被分割出来的两个四面体是对称的,因为BA=AC=BD=CDBC=AD决定了它的对称美,即是很有规则的,解题时不到万不得已一般不要破坏这种美。

解:设

于是,V=

       

      

       =

   等号当且仅当。……  

     实际上,一般求等腰三角形的面积用底边与底边上的高,而不用腰长与腰上的高;以及求正三棱锥的体积用而不用等等,都是数学的对称美引导人们这样做,同样的道理,对于正四面体,用内切球半径r这一更加对称的形式可能是更便利的。

又如:当你看到式子时,就感到它是美的,因为它的变化是有规律的,这是一种整体美感,而当你知道它的值就是时,你一定会拍案叫绝,的确,这两者的联系真会使人浮想联翩。

往往有几个字母循环出现的式子都使人感到美,而这类题目也似乎不容易找到其突破点,因为正如对于一个用锁链连成的圆圈,要想折断它真不知道从哪弄断才好。碰到这类题目,不到万不得以最好也

别破坏其循环而严密的美,常常可以把它看成整体考虑,作一些对每个字母都平权的变换。

已知:的范围。

此题中的地位是完全平等的,我不习惯于把一个用另一个表示以及别的任何破坏这种整体性的行为,于是便作如下尝试:

 

一些式子如果其中字母无论如何替换都是原式子,那么这类题目一般是有规可循的,若这类题目是证明题,那么只要证明一种情况就行了,其它情况可同理推得:

…… 

总之,数学美感在解题时是十分有用的,许多问题的解决都是自觉不自觉地在数学美感指导下进行的。

当然,正如鉴赏能力,一个人的数学美感,也只能靠平时培养。我觉得,中学数学解题的技巧和灵活性相当大,一些解法令人不可思议,我常常为看到一种好的解法而兴奋,象看到一件艺术珍品,不断地揣摩,不惜把它背下来。

数学是美的,同时也是相当有趣的,透过薄纸上的算符和式子,我们看到的是一个妙趣横生的世界。作为一门工具,数学总是要和实际联系起来的,数学发展史告诉了我们这一点,数学的内容也告诉我们这一点,而当我们一旦融数学于现实,我们常常感到自然力的冲动!

十分古老而有意义的“韩信点兵”问题,“百鸡百蛋”问题都使人感到神秘而有趣,我则想举一个“世界末日”的例子。

在印度的某佛教庙堂里有一块木板,上面竖直地插着三支金针(如上图),其中一支金针上套着从下到上依次变小的64块铜片,另两支上则没有,这就是所谓“梵塔”(也叫hanio塔)庙堂里每天有一个值班的和尚,按以下法则移动金属铜片,每次只能移一片,从一支金针移下的铜片必须套到另一金针上去,移动时,小的铜片永远只能在大的铜片上面,佛经上说,当64片铜片完全移到另一根金针上时,世界将在霹雳声中毁灭。

这难道不是一个很有意思的故事吗?

地球当然不会因为这些铜片的移动而霹雳一声爆炸,但如果用数学的原理分析一下,它是不没道理的。

如图,依照上述规则,要把第n片铜片从金针1移到金针2的底层,必须先把它上面的第n-1片铜片移到第3根金针上,设把n片铜片全部移到第2根金针上需移F(n)次,则把n-1片移到金针3上需

Fn-1)次,再把第n片铜片移到金针2,然后把前n-1 片从金针3移到金针2F(n-1)次,于是有:

     

这是一个多大的数字呢?让我们来估算一下:

,而一年有即使一秒钟搬3次,时刻不停地搬,一年搬不了次,就算一年能搬次,也需1600亿年,到那时,地球早已“寿终正寝”了。

我曾经用递归算法编写程序在计算机上进行检验。当我输入n=64时,屏幕上的结果没完没了,恐怕在这台计算机的“有生之年”是完成不了的,于是只好强行停机!

上面的例子是十分有趣的。

学习数学常常是一种享受,当你看到一道好题目或一个好解法时,当你几天来苦思冥想不得其解的问题豁然开朗时,当你晚上做完最后一道题走出教室仰望天上的星星时,你就会感到这世界简直美透了!或者当你从一个结果推广到一类结果或把几个貌似不同的结果融会贯通时,你会感到创造力的激动!

我是个武侠小说迷,如果一本数学书和一本武侠小说摆在我面前任我选择,我会毫不犹豫地选择小说——即使明天就高考!小说惊险的情节,精湛的武功,英雄美女,离奇怪诞,恩恩怨怨,都使人废寝忘食,我常常捧着小说看到凌晨两点钟,而我敢起誓,我从来没有做数学到这个时间!我佩服王重阳、唐晓澜的精湛武功,羡慕郭靖、黄蓉的爱情,倾倒于冰川天女、谷之华的花容月貌……这一切都十分有趣。然而,当小说的结尾无情地把我撵回到现实中时,得到的只是无穷的惆怅和深深的惋惜,除了长叹一声,把梁羽生、金庸骂个淋漓尽致外,别无所获。

做数学则不然,当解出一道难题或掌握了一种巧妙的解法之后,心中的快乐真是不可名状,有时会把好的解法抄下来、背下来,这种快乐才是充实的快乐!

在这篇文章的末了,请允许我感叹一声:

美哉,数学!